隨著中國國力的上升，人民生活水平的提高，坐飛機(jī)出國旅游已經(jīng)不是一件稀罕的事情。在長途飛行中，飛機(jī)上除了播放一些文藝節(jié)目外，也會(huì)不時(shí)顯示出飛機(jī)的位置和已經(jīng)飛過的路線。如果留意一下這些飛行路線，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)“奇怪”的現(xiàn)象：飛機(jī)好像并不是沿著最短路線飛，而是在“繞著”飛。

比如從美國的洛杉磯經(jīng)過韓國的仁川中轉(zhuǎn)后，飛回中國的上海，就是這樣“繞著”飛的。洛杉磯的緯度是北緯34度03分，仁川和上海的緯度和洛杉磯差不多，分別是北緯37度28分和31度20分。在想象中，從洛杉磯飛向仁川應(yīng)該基本上是往西飛，即基本上是沿著北緯34度到37度的這個(gè)區(qū)帶往亞洲飛。在地圖上，飛行路線應(yīng)該基本上是一條直線。

但是飛機(jī)的實(shí)際飛行路線卻不是這樣。飛機(jī)從洛杉磯起飛后，并不往西飛，而是沿著北美洲的海岸線朝西北方向飛。到了白令海峽以后，才轉(zhuǎn)向正西，然后又轉(zhuǎn)向西南方向飛，從堪察加半島附近飛過，再飛向仁川。很明顯，飛機(jī)是在地圖上繞了一個(gè)大圈子。

現(xiàn)在汽油的價(jià)格這么高，航空公司為了節(jié)省飛行成本，想盡了一切辦法。但是它們?yōu)槭裁床贿x擇最短的路線飛呢？多飛這么多里程，要多燒多少汽油??！

但是在實(shí)際上，飛機(jī)是沿著最短的路線飛行的。要是飛機(jī)真的是基本上沿著緯度線一直向西飛，即沿著地圖上洛杉磯和仁川之間的直接連線飛，路程反而更長。

你也許會(huì)覺得奇怪：這怎么可能呢？問題就出在地圖上。我們平時(shí)所用的世界地圖并不能準(zhǔn)確地反映出地球表面各個(gè)點(diǎn)之間的空間關(guān)系，而是經(jīng)過變形的。所以在插圖中看見的“繞彎”的路線，其實(shí)是一種假象。你要是去看地球儀，就會(huì)發(fā)現(xiàn)洛杉磯和仁川之間的最短路線應(yīng)該是在地球儀上這兩個(gè)城市之間拉一根繃緊的橡皮筋的途徑，與插圖中飛機(jī)走的路線基本相符，而不是沿著34到37度的緯線走的。那樣走反而更遠(yuǎn)。這是因?yàn)椋?/p>

球面不能展成平面而不變形

從幾何上講，地球表面上兩點(diǎn)之間的最短距離應(yīng)該是通過地球球心和地表兩點(diǎn)這三個(gè)點(diǎn)決定的平面與地球表面的交界線（在這里假設(shè)地球是一個(gè)完美的球形）。而沿著緯線的平面，除了在赤道（緯度為零）外，都不通過地心，因此這個(gè)平面與地球表面的交界線就不會(huì)是最短距離。

地圖變形的原因就在于，地球的表面是一個(gè)球面（三維），而我們平時(shí)使用的地圖是一個(gè)平面（二維）。球面是沒有辦法展平為平面而不變形的。你只要?jiǎng)兿乱粋€(gè)廣柑的皮（盡量剝成一片），把它放在桌上，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些皮不能被展開成一個(gè)平面。

不是說所有的曲面都不能變成平面。比如把吸果汁的管子縱向剪開，就可以展成一個(gè)平面。圓錐形的表面也可以展成平面。在這里，曲面只在一個(gè)方向上“拐彎”，在另一個(gè)方向上仍然保留有直線。如果曲面在各個(gè)方向上都“拐彎”，像球面那樣，就沒有辦法展為平面了。

但是只有平面的地圖用起來才方便。那怎么辦呢？為了解決這個(gè)問題，人們使用了各種投影方法。一種辦法就是利用圓筒能展為平面的原理，把地球“裝”在一個(gè)圓筒中，地球的赤道和圓筒相接觸。再想象圓筒的中軸上有一條光源，光線只能朝垂直于中軸的方向照射。把地球表面上的各點(diǎn)投影到圓柱上，再把圓筒展為平面，就得到了二維的平面地圖。

很容易看出，這樣得到的地圖在赤道附近變形最小。離赤道越遠(yuǎn)，變形越大。在北極和南極，在地球上本來是一個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)在卻要變成一個(gè)與赤道長度相等的直線，變形無限大（從零到某個(gè)固定數(shù)值）。緯度很高的國家，比如加拿大，俄國，冰島，就在東西方向上被極大地拉長了。

而且這樣投影，越往北極和南極，緯度之間的距離也被壓縮得越厲害。為了保持緯度之間的距離不變，可以把經(jīng)線和緯線都畫成垂直相交，距離相等的直線。這樣在緯度上沒有變形，但是在經(jīng)度上被拉伸了。

這就像被縱向切成一瓣瓣的西瓜，西瓜皮中間最寬，而兩頭是尖的。把這些西瓜皮排成一排，只要把西瓜切的瓣數(shù)足夠多，就可以基本上把這些西瓜皮排成一個(gè)平面。但是這個(gè)平面只在赤道線上是連續(xù)的，上下都由“鋸齒”組成。如果把“鋸齒”都橫向擴(kuò)展到赤道線那么寬，就可以變成一個(gè)連續(xù)的長方形的平面。這樣得到的地圖，在極地附近也有非常大的變形。

另一個(gè)辦法是讓西瓜皮鋸齒橫向變形，彼此并到一起，它們的尖也合在一起，使北極和南極再次成為一個(gè)點(diǎn)，地圖的其它點(diǎn)也相應(yīng)地靠攏，這樣也可以得到一個(gè)連續(xù)的近似橢圓的平面地圖。這樣得到的地圖在經(jīng)度方向上沒有拉伸，緯度方向上也沒有壓縮。但是在地圖的邊緣，形狀變化很大。本來是南北方向的直線變成很彎的曲線了。

為了避免這些嚴(yán)重的缺點(diǎn)（極地?zé)o限拉伸和邊緣極度變形），可以采取一個(gè)折中，即把西瓜皮的“尖”也擴(kuò)展一點(diǎn)，再把這些鋸齒橫向合并。這樣得到的地圖上下方不是一點(diǎn)，而是比赤道短一些的線，整個(gè)地圖像一個(gè)鼓從旁邊看的圖形。這樣在高緯度區(qū)域仍然有拉伸，但是拉伸的程度小一些，而且在邊緣地區(qū)變形也比較小。我們現(xiàn)在使用的世界地圖，基本上就是這樣得到的。

由于在高緯度地帶仍然有拉伸，而且緯度越高，拉伸越厲害。像俄國和加拿大的版圖就被人為地拉長了，顯得這兩個(gè)國家格外巨大。飛機(jī)在這樣的地圖上顯示出來的飛行路線也是被拉伸了的，也就是被人為地夸大了。

同理，我們在大洋彼岸遙望祖國，比如從洛杉磯的海邊遙望上海，也不是想象的那樣應(yīng)該向西沿著緯線望，而是應(yīng)該向西北方向望，那才是到上海的最短距離。

球面與平面的關(guān)系對(duì)我們的生活和工作的影響

球面與平面之間的相互不能轉(zhuǎn)換性也影響到我們的生活和工作。比如一些火箭和飛機(jī)的頭部是做成圓錐形的，以減少空氣阻力。這樣的形狀可以方便地用金屬板卷曲而成，因而加工起來簡單方便。但是圓錐形并不是最好的形狀。我國剛剛成功發(fā)射的“天宮一號(hào)”所使用的整流罩，頂部的形狀就采用了馮·卡門曲線以最大限度地降低空氣阻力。這樣得到的球面是不能展開為平面的。這里人們利用金屬的延展性，即可以變形。如果有正確的模子，就可以沖壓成型，即把平面變形為球面。許多球面和曲面的產(chǎn)品就是經(jīng)過金屬板的沖壓變形而成的。但是模子的加工是一個(gè)不容易的任務(wù)。另一個(gè)辦法是鑄造，直接成型，繞過平面變曲面的問題。但是鑄造也需要模子。

我們的頭基本上是圓球形的，用一塊布就無法不起皺褶地做成一頂帽子。一種辦法是用多條西瓜皮形狀的布連成一頂帽子，這就是我們早些年見到的“瓜皮帽”。用布做的各種形狀的帽子，都是由多塊布拼接而成的。同樣，用牛皮做籃球也要用多塊皮子拼接起來。因?yàn)椴己团Ｆさ难诱剐詻]有金屬好，變形有限。用毛線織帽子就可以通過加針和減針改變形狀，繞過平面和球面之間變換難的問題。

我們身體的形狀是很復(fù)雜的，也很難展為平面。所以要用延展性不好的布料做衣服也不是一件容易的事情。特別是內(nèi)衣，用延展性差的布料制作，必然會(huì)出現(xiàn)令人不舒服的皺褶。人們喜歡穿針織的內(nèi)衣，就是因?yàn)樗鼈兊难诱剐院?，比布料更加熨貼。就是外面的衣服合身了，能夠容易地把衣服疊起來（再變?yōu)槠矫妫┮彩遣蝗菀椎?。在這里剪裁的水平就有高下之分。所以裁縫也不是那么容易做的。名牌衣服之所以賣得貴，原因之一也是剪裁的水平高。

人的科學(xué)技術(shù)水平可以不斷進(jìn)步，許多原來沒有的東西可以被創(chuàng)造出來；原來不可能的事情，經(jīng)過努力也可以辦到。但是一些基本的規(guī)律卻是不能違反的，它們所帶來的限制也是難以完全克服的。球面和平面的關(guān)系就是一個(gè)例子。


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